Notes et documents PDF

The Sturm-Liouville problem on the half-line. Ce document est mon projet de master : j’ai passé un semestre à plein temps dessus. Le projet original était de généraliser le problème de Sturm-Liouville sur $[a,b]$, qui peut être résolu grâce à une décomposition en fonctions propres, à la demi-ligne réelle $[0,+\infty)$ en suivant la preuve géométrique originale de H. Weyl, rédigée en allemand en 1910. La preuve de H. Weyl est rigoureuse pour le cas « limit-circle », mais lacunaire pour le cas « limit-point ». Je me suis alors tourné vers le livre Sturm-Liouville and Dirac Operators de Levitan et Sargsjan, mais la preuve du lemme 2.4.3 dans le livre ne justifie pas un argument de limite très important et très délicat. Mon superviseur et moi-même n’avions pas réussi à corriger ce gap au moment du projet de manière simple. Selon moi, il faut d’abord prouver la surjectivité de la transformée de Fourier généralisée pour pouvoir obtenir ce résultat (cf. Corollaire 4.57 dans mon projet). Pour ce faire, j’ai alors suivi l’argument du livre Eigenfunction Expansions Associated with Second-Order Differential Equations, Part One de Titchmarsh. J’espère donc pouvoir aider les prochaines personnes qui s’intéressent à ce beau sujet.

The Spectral Theorem for unbounded self-adjoint operators. Ce document est un projet de semestre effectué durant mon master. Il présente la preuve du théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints non-bornés en suivant la preuve de Weidmann. Ensuite, je présente des applications de ce théorème au problème des moments de Hamburger et à la caractérisation des fonctions dites « opérateur-monotones ».

Théorie de la transformation et application au problème de Kepler. Ce document est un projet de semestre effectué durant ma dernière année de Bachelor. C’est une introduction aux systèmes hamiltoniens avec une preuve du théorème (simplifié) de Noether qui fait le lien entre les symétries d’un système hamiltonien et les quantités conservées. Ensuite, on applique ce théorème pour retrouver des lois de conservation en physique (conservation de l’énergie, de la masse ou des moments) et résoudre le problème géodésique sur la sphère. On montre finalement que le problème géodésique sur la sphère et le problème de Kepler (c.-à-d. le problème à deux corps) à énergie négative sont équivalents. Cela permet de voir immédiatement que deux corps célestes en mouvement possèdent une trajectoire périodique ou qu’il y a collision en temps fini.

Predicting the number of satellites of female horseshoe crabs. Ce document est mon projet final pour un cours de Biostatistiques Appliquées. Il s’agissait d’analyser le « Horseshoe crab satellite » dataset de Brockmann (1996) en utilisant un modèle linéaire généralisé.

Data Analysis : Cancer de la prostate. Ce document est mon projet final pour un cours de Modèles Linéaires. Il s’agissait d’analyser un jeu de données sur le cancer de la prostate de T.A. Stamey et al. (1989) en utilisant un modèle linéaire.